Question

【題目】各項(xiàng)均為非負(fù)整數(shù)的數(shù)列同時(shí)滿足下列條件：

① ；② ；③是的因數(shù)（）．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，寫出數(shù)列的前五項(xiàng)；

（Ⅱ）若數(shù)列的前三項(xiàng)互不相等，且時(shí)， 為常數(shù)，求的值；

（Ⅲ）求證：對(duì)任意正整數(shù)，存在正整數(shù)，使得時(shí)， 為常數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）5，1，0，2，2. （2）的值為.（3）見解析

【解析】試題分析：（1）由題意得 而2是的因數(shù)，所以 ，依次求出后三項(xiàng)，（2）由前三項(xiàng)互不相等，可分類討論： 這四種情況即可，（3）令，則為正整數(shù)，易得為單調(diào)遞減數(shù)列（可相等），當(dāng)首項(xiàng)確定時(shí)，當(dāng)時(shí)，必有成立.而當(dāng)成立時(shí)，可得常數(shù).

試題解析：解：（Ⅰ）5，1，0，2，2.

（Ⅱ）因?yàn)?/span>，所以，

又?jǐn)?shù)列的前3項(xiàng)互不相等，

（1）當(dāng)時(shí)，

若，則，

且對(duì)， 都為整數(shù)，所以；

若，則，

且對(duì)， 都為整數(shù)，所以；

（2）當(dāng)時(shí)，

若，則，且對(duì)， 都為整數(shù)，所以，不符合題意；

若，則，

且對(duì)， 都為整數(shù)，所以；

綜上， 的值為.

（Ⅲ）對(duì)于，令，

則.

又對(duì)每一個(gè)， 都為正整數(shù)，所以 ，其中“”至多出現(xiàn)個(gè).故存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，必有成立.

當(dāng)時(shí)，則.

從而.

由題設(shè)知，又及均為整數(shù)，

所以 ，故常數(shù).

從而常數(shù).

故存在正整數(shù)，使得時(shí)， 為常數(shù).