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13.已知f(x)=sinx+3cosx,設(shè)g(x)=[f(x)]2-2.
(1)求函數(shù)g(x)的表達(dá)式與最小正周期;
(2)求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

分析 (1)由兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)f(x),由二倍角的余弦公式變形化簡(jiǎn)g(x),由三角函數(shù)的周期公式求出g(x)的最小正周期;
(2)由(1)和余弦函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

解答 解:(1)由題意得,fx=sinx+3cosx
=212sinx+32cosx=2sinx+π3,
所以g(x)=[f(x)]2-2=4sin2x+π32
=2cos2x+2π3,
由T=2π2=π得,g(x)的最小正周期為π;
(2)由2kπ≤2x+2π3≤2kπ+π得,
kππ3≤x≤kπ+π6,(k∈Z)
所以函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kππ3,kπ+π6](k∈Z).

點(diǎn)評(píng) 本題考查余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),三角恒等變換中的公式,以及三角函數(shù)的周期公式,考查整體思想,化簡(jiǎn)、變形能力.

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