Question

1．在直角坐標系xoy中，橢圓C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，F(xiàn)₂也是拋物線C₂：y²=4x的焦點，點M為C₁與C₂在第一象限的交點，且$|{M{F_2}}|=\frac{5}{3}$．
（1）求C₁的方程；
（2）在C₁上任取一點P，過點P作x軸的垂線段PD，D為垂足，若動點N滿足$\overrightarrow{DP}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}\overrightarrow{DN}$，當點P在C₁上運動時，求點N的軌跡E的方程．

Answer 1

分析 （1）先由拋物線定義及|MF₂|=$\frac{5}{3}$，求出點M的橫坐標，進而求其坐標，再由橢圓焦點為F₂（1，0），又過M點，用待定系數(shù)法求出橢圓方程；
（2）設(shè)出N（x，y），由動點N滿足$\overrightarrow{DP}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}\overrightarrow{DN}$，把P的坐標用N的坐標表示，代入橢圓C₁的方程，即可求點N的軌跡方程．

解答 解：（1）由拋物線C₂：y²=4x 知 F₂（1，0），
設(shè)M（x₁，y₁），（x₁＞0，y₁＞0），M在C₂上，且|MF₂|=$\frac{5}{3}$，
∴x₁+1=$\frac{5}{3}$，得x₁=$\frac{2}{3}$，代入y²=4x，得y₁=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴M（$\frac{2}{3}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）．                                                     
M在C₁上，由已知橢圓C₁的半焦距 c=1，于是$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{9{a}^{2}}+\frac{8}{3^{2}}=1}\\{^{2}={a}^{2}-1}\end{array}\right.$，
消去b²并整理得 9a⁴-37a²+4=0，解得a=2（a=$\frac{1}{3}$不合題意，舍去）．
故橢圓C₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）設(shè)N（x，y），
∵$\overrightarrow{DP}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}\overrightarrow{DN}$，
∴P（x，$\frac{\sqrt{3}}{2}$y），
代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，可得x²+y²=4．

點評 本題考查了軌跡方程的求法，考查了代入法求曲線的軌跡方程，是中檔題．