Question

【題目】如圖所示，已知四邊形是直角梯形，，，其中是上的一點(diǎn)，四邊形是菱形，滿足，沿將折起，使

（1）求證：平面平面

（2）求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).

【解析】試題分析：

（1）取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接和,和，由題意結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可得，，結(jié)合線面垂直的判斷定理有面，,而，所以平面，結(jié)合面面垂直的判斷定理可得平面平面.

（2）由題意結(jié)合（1）可知為三棱錐的底面的高，轉(zhuǎn)化頂點(diǎn)計(jì)算可得三棱錐的體積.

試題解析：

（1）如圖，取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接和,和，由題意知：

，是等腰三角形，

，是等腰三角形，

則有，，

分別為和的中點(diǎn)，可得：,而，，

所以面，可得，,

面，，平面，且與不平行，所以平面，

而平面，所以平面平面.

（2）三棱錐的體積，即為三棱錐的體積，由（1）知，平面，從而為三棱錐的底面的高，

為直角三角形，，可得，而，從而，由題意知：，從而，

是等腰三角形，且，為的中點(diǎn)，且，

，

，故.