Question

如圖，在三棱錐S-ABC中，平面SBC⊥平面ABC，SB=SC=AB=2，BC=2，∠BAC=90°，O為BC中點．
（Ⅰ）求點B到平面SAC的距離；
（Ⅱ）求二面角A-SC-B的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）以OB、OA、OS為x，y，z軸建立直角坐標系，用坐標表示點與向量，求得平面SAC的法向量，而，從而可求點B到平面SAC的距離d=||；
（Ⅱ）由已知得平面SBC的法向量=（0，1，0），平面SAC的法向量=（-1，1，1），從而可得二面角A-SC-B的余弦值．
解答：解：（Ⅰ）因為SB=SC，O為BC中點，所以SO⊥BC
而平面平面SBC⊥平面ABC，平面SBC∩平面ABC=BC，所以SO⊥平面ABC，
以OB、OA、OS為x，y，z軸建立直角坐標系，得B（，0，0），A（0，，0），S（0，0，），C（-，0，0），
∴，，
設平面SAC的法向量為
∴，∴，可取
而，故點B到平面SAC的距離d=||=
（Ⅱ）由已知得平面SBC的法向量=（0，1，0），平面SAC的法向量=（-1，1，1）
∴二面角A-SC-B的余弦值等于==．
點評：本題考查點到面的距離，考查面面角，解題的關鍵是建立空間直角坐標系，確定平面的法向量，屬于中檔題．