Question

設函數．
（1）當a=2時，求f（x）的最大值；
（2）令（0＜x≤3），以其圖象上任意一點P（x，y）為切點的切線的斜率恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）當a=0時，方程mf（x）=x²有唯一實數解，求正數m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）把a=2代入函數，對f（x）進行求導，求出其極值，根據導數來求最值；
（2）對F（x）進行求導，求過點P（x，y）的切線，求出k用x0的表達出來，再根據斜率恒成立，從而求出a的范圍；
（3）當a=0時，方程mf（x）=x²即x²-mx-mlnx=0，令g（x）=x²-mx-mlnx，對其進行求導，利用導數來畫出函數的草圖，從而來求解；
解答：解（1）a=2時，f（x）=lnx+x-x²，…（1分），
解f′（x）=0得x=1或（舍去）…（2分），
當x∈（0，1）時，f′（x）＞0，f（x）單調增加，
當x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）單調減少…（3分），
所以f（x）的最大值為f（1）=0…（4分）
（2）（0＜x≤3），（0＜x≤3）…（6分）
由恒成立得恒成立…（7分）
因為，等號當且僅當x=1時成立…（8分），
所以…（9分）
（3）a=0時，方程mf（x）=x²即x²-mx-mlnx=0，
設g（x）=x²-mx-mlnx，
解…（10分），得（＜0舍去），，
類似（1）的討論知，g（x）在x∈（0，x₂）單調增加，
在x∈（x₂，+∞）單調減少，最大值為g（x₂）…（11分），
因為mf（x）=x²有唯一實數解，g（x）有唯一零點，所以g（x₂）=0…（12分），
由得x₂+2lnx₂-1=0，
因為h（x）=x+lnx-1單調遞增，且h（1）=0，
所以x₂=1…（13分），
從而m=1…（14分）．
點評：此題考查利用導數來研究函數的切線，最值和函數的單調性，是高考必考的一類題，此題是一道中檔題．