已知點A(-2,0),B(2,0),C(0,2),直線y=ax+b(a>0)將△ABC分割為面積相等的兩部分,則b的取值范圍是( 。
A、(0,2-
2
B、(2-
2
,1)
C、(2-
2
2
3
]
D、[
2
3
,1)
考點:直線的一般式方程
專題:直線與圓
分析:先求得直線y=ax+b(a>0)與x軸的交點為M(-
b
a
,0),由-
b
a
≤0可得點M在射線OA上.求出直線和BC的交點N的坐標(biāo),利用面積公式、點到直線以及兩點之間的距離公式再分三種情況分別討論:①若點M和點A重合,求得b=
2
3
;②若點M在點O和點A之間,求得 b<1;③若點M在點A的左側(cè),求得b>2-
2
,綜合起來可得結(jié)論.
解答: 解:由題意可得,三角形ABC的面積為S=
1
2
•AB•OC=4,

由于直線y=ax+b(a>0)與x軸的交點為M(-
b
a
,0),
由直線y=ax+b(a>0)將△ABC分割為面積相等的兩部分可得點M在射線OA上.
設(shè)直線和BC的交點為 N,則由
y=ax+b
x+y=2
,可得點N的坐標(biāo)為(
2-b
a+1
2a+b
a+1
),
①若點M和點A重合,則點N為線段BC的中點,則-
b
a
=-2,且
2a+b
a+1
=1,解得a=
1
3
,b=
2
3
,
②若點M在點O和點A之間,則點N在點B和點C之間,由題意可得三角形NMB的面積等于2,即
1
2
•MB•yN=2,
1
2
•(2+
b
a
)•
2a+b
a+1
=2,解得a=
b2
1-b
>0,故b<1,
③若點M在點A的左側(cè),則-
b
a
<-2,b>a,設(shè)直線y=ax+b和AC的交點為P,
則由
y=ax+b
x-y=-2
求得點P的坐標(biāo)為(
2-b
a-1
,
2a-b
a-1
),
此時,NP=
(
2-b
a-1
-
2-b
a+1
)2+(
2a-b
a-1
-
2a+b
a+1
)2
=
[
2(2-b)
(a-1)(a+1)
]
2
+[
2a(2-b)
(a-1)(a+1)
]
2
=
4(1+a2)(2-b)2
(a-1)2(a+1)2
 
=
2|2-b|
|a+1|•|a-1|
1+a2
,
此時,點C(0,2)到直線y=ax+b的距離等于
|b-2|
1+a2

由題意可得,三角形CPN的面積等于2,即
1
2
2|2-b|
|a+1|•|a-1|
1+a2
|b-2|
1+a2
=2,
化簡可得(2-b)2=2|a2-1|.
由于此時 0<b<a<1,
∴(2-b)2=2|a2-1|=2-2a2
兩邊開方可得2-b=
2-2a2
2
,則2-b<
2
,即b>2-
2
,
綜合以上可得,b的取值范圍是(2-
2
,1)

故選:B
點評:本題主要考查確定直線的要素,點到直線和兩點之間的距離公式以及三角形的面積公式的應(yīng)用,還考查運算能力和綜合分析能力,分類討論思想,屬于難題.
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3
,C=
π
3
,則b=
 

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an
2an+1
,n∈N*,則通項an=
 

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A、
2
9
B、
4
9
C、
1
3
D、
2
3

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已知數(shù)列{an}滿足a1=
2
3
,且對任意的正整數(shù)m,n,都有am+n=am•an,則{an}前n項和Sn等于( 。
A、2-(
2
3
)n-1
B、2-(
2
3
)n
C、2-
2n
3n+1
D、2-
2n+1
3n

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A、4B、8C、10D、14

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1
2
.若a3=
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,求數(shù)列{an}的前n項和.

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