Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）與直線y=-x+1相交于A、B兩點(diǎn)，以弦長AB為直徑的圓恰好過原點(diǎn)，求此拋物線的方程．

Answer 1

分析：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把直線y=-x+1代入拋物線y²=2px（p＞0），得y²+2py-2p=0，所以y₁+y₂=-2p，y₁y₂=-2p，x₁x₂=（1-y₁）（1-y₂）=1-（y₁+y₂）+y₁y₂=1+2p-2p=1．因?yàn)橐韵褹B為直徑的圓恰好過原點(diǎn)，所以O(shè)A⊥OB，所以x₁x₂+y₁y₂=1-2p=0，由此能求出拋物線的方程．

解答：解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
y=-x+1，
x=1-y，
則：y²=2p（1-y），
y²+2py-2p=0，
y₁+y₂=-2p，y₁y₂=-2p，
x₁x₂=（1-y₁）（1-y₂）=1-（y₁+y₂）+y₁y₂=1+2p-2p=1．
∵以弦AB為直徑的圓恰好過原點(diǎn)，
∴OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=0
∵x₁x₂+y₁y₂=1-2p=0
∴p=

1

2

．
∴拋物線的方程為：y²=x．

點(diǎn)評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，綜合性強(qiáng)，難度大，容易出錯，是高考的重點(diǎn)，易錯點(diǎn)是知識體系不牢固．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．