Question

5．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是的AA₁中點(diǎn)，P為地面ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)PD₁、PE與地面ABCD所成的角分別為θ₁、θ₂（θ₁、θ₂均不為0），若θ₁=θ₂，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為哪種曲線的一部分（　　）

• A． 直線
• B． 圓
• C． 橢圓
• D． 拋物線

Answer 1

分析 通過建系如圖，利用cosθ₁=cosθ₂，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：建系如圖，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為1，則E（2，0，1），D₁（0，0，2），
設(shè)P（x，y，0），則$\overrightarrow{PE}$=（2-x，-y，1），$\overrightarrow{P{D}_{1}}$=（-x，-y，2），
∵θ₁=θ₂，$\overrightarrow{z}$=（0，0，1），
∴cosθ₁=cosθ₂，即$\frac{\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{z}}{|\overrightarrow{PE}|•|\overrightarrow{z}|}$=$\frac{\overrightarrow{P{D}_{1}}•\overrightarrow{z}}{|\overrightarrow{P{D}_{1}}|•|\overrightarrow{z}|}$，
代入數(shù)據(jù)，得：$\frac{1}{\sqrt{（2-x）^{2}+{y}^{2}+1}}$=$\frac{2}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+4}}$，
整理得：x²+y²-$\frac{16}{3}$x+$\frac{16}{3}$=0，
變形，得：$（x-\frac{8}{3}）^{2}$+y²=$\frac{16}{9}$，
即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓的一部分，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與圓柱面的截線，建立空間直角坐標(biāo)系是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．