Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的極值；

（2）設(shè)函數(shù)．若存在區(qū)間，使得函數(shù)在上的值域為，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) 極小值為，沒有極大值．(2)

【解析】

（1）根據(jù)題意，先對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，解出的根，討論方程的解的左右兩側(cè)的符號，確定極值點，從而求解出結(jié)果。

（2）根據(jù)題意，將其轉(zhuǎn)化為在上至少有兩個不同的正根，再利用導(dǎo)數(shù)求出的取值范圍。

解：（1）定義域為，，

時，，時，，

∴在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

∴的極小值為，沒有極大值．

（2），

則，令，

則．

當(dāng)時，，（即）為增函數(shù)，

又，

所以在區(qū)間上遞增．

因為在上的值域是，

所以，，，

則在上至少有兩個不同的正根．

，令，

求導(dǎo)得．

令，則，

所以在上遞增，，，

當(dāng)時，，∴，

當(dāng)時，，∴，

所以在上遞減，在上遞增，

所以，所以．