如圖，已知正四棱柱，點在棱上，截面

∥，且面與底面所成的角為

Ⅰ.求截面的面積；

Ⅱ.求異面直線與AC之間的距離；

Ⅲ.求三棱錐的體積.

 

答案：
解析：

Ⅰ.如圖，連結BD交AC于O，連結EO

因為底面ABCD是正方形，

所以DO⊥AC

又因為ED⊥底面AC，

因為EO⊥AC

所以∠EOD是面EAC與底面AC所成二面角的平面角.

所以

故

II.由題設是正四棱柱，得⊥底面AC，⊥AC，

又⊥

所以是異面直線與AC間的公垂線.

因為∥面EAC，且面與面EAC交線為EO

所以∥EO

又O是DB的中點，

所以E是的中點，=2EO =2

所以

異面直線與AC間的距離為

Ⅲ. 解法一：如圖，連結

因為=DB=

所以是正方形，

連結交于P，交EO于Q

因為⊥，EO∥，

所以⊥EO

又AC⊥EO，AC⊥ED

所以AC⊥面，

所以⊥AC，

所以⊥面EAC.

所以是三棱錐的高.

由DQ=PQ，得

所以

所以三棱錐的體積是

解法二：連結，則

因為AO⊥面，

所以AO是三棱錐的高，AO

在正方形中，E、O分別是、DB的中

點（如圖），

則

∴

所以三棱錐的體積是

 


練習冊系列答案
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如圖，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面邊長AB=2，側棱BB1的長為4，過點B作B1C的垂線交側棱CC1于點E，交B1C于點F．
（Ⅰ）求證：A1C⊥平面BED；
（Ⅱ）求A1B與平面BDE所成的角的正弦值．

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