Question

已知函數f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x，△ABC的內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，a=2

3

．
（1）求f（x）的最大值及取得最大值時相應x值的集合；
（2）若f（A）=2，b+c=6，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：余弦定理,三角函數中的恒等變換應用

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質,解三角形

分析：（1）首先根據三角函數的恒等變換，變形成正弦型函數，進一步求出最值和對應的區(qū)間．
（2）直接利用（1）的結論，進一步利用余弦定理求出bc的值，進一步求出三角形的面積．

解答： 解：（1）f(x)=

3

sin2x+cos2x+1
=2(

3

2

sin2x+

1

2

cos2x)+1=2sin(2x+

π

6

)+1
∴f(x)max=3，此時2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z
∴f(x)max=3，x的取值集合為{x|x=kπ+

π

6

，k∈Z}
（2）f(A)=2，即sin(2A+

π

6

)=

1

2

由

π

6

＜2A+

π

6

＜

13π

6

∴2A+

π

6

=

5π

6

，即A=

π

3

在△ABC中，由余弦定理a²=b²+c²-bc
又b+c=6，a=2

3

∴12=（b+c）²-3bc=36-3bc，
bc=8
所以S△ABC=

1

2

bcsinA=2

3

點評：本題考查的知識要點：三角函數的恒等變換，正弦型函數的最值，余弦定理的應用，三角形的面積公式的應用．屬于基礎題型．