Question

16．已知?jiǎng)訄AP過(guò)點(diǎn)F（1，0）且和直線l：x=-1相切．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；
（2）已知點(diǎn)M（-1，0），若過(guò)點(diǎn)F的直線與軌跡E交于A，B兩點(diǎn)，求證：直線MA，MB的斜率之和為定值．

Answer 1

分析 （1）由拋物線的定義知，點(diǎn)P的軌跡為拋物線，由此能求出動(dòng)圓圓心的軌跡方程．
（2）設(shè)直線AB的方程為x=my+1，聯(lián)立直線與拋物線，利用韋達(dá)定理、斜率公式，即可證明結(jié)論．

解答 解：由題意得：圓心P到點(diǎn)F的距離等于它到直線l的距離，
∴圓心P的軌跡是以F為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線．
設(shè)圓心P的軌跡方程為y²=2px（p＞0）（p＞0）．
∵$\frac{p}{2}$=1，
∴p=2．
∴圓心P的軌跡方程為：y²=4x；
證明：（2）設(shè)直線AB的方程為x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯(lián)立直線與拋物線可得y²-4my-4=0，∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，
∴k_MA+k_MB=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}$=$\frac{（1+\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{4}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$=0，即直線MA，MB的斜率之和為定值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義與方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查斜率的計(jì)算，屬于中檔題．