Question

已知函數(shù)，，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線平行于軸．

（1）確定與的關(guān)系；

（2）試討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）證明：對任意，都有成立。

 

Answer 1

（1）（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在(0,1)上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增（3）見解析

【解析】（1）依題意得，則

由函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線平行于軸得：

∴-------------------------------------3分

（2）由（1）得----------4分

∵函數(shù)的定義域?yàn)?/span>

∴當(dāng)時(shí)，在上恒成立，

由得，由得，

即函數(shù)在(0,1)上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；----------------5分

當(dāng)時(shí)，令得或，

若，即時(shí)，由得或，由得，

即函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；---------6分

若，即時(shí)，由得或，由得，

即函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；------------7分

若，即時(shí)，在上恒有，

即函數(shù)在上單調(diào)遞增， -----------------8分

綜上得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在(0,1)上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增．

（3）證法一：由（2）知當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，，即，------------11分

令，則，-------------------------------------12分

即--------14分

證法二：構(gòu)造數(shù)列，使其前項(xiàng)和，

則當(dāng)時(shí)，，-------11分

顯然也滿足該式，

故只需證-------------------12分

令，即證，記，

則，

在上單調(diào)遞增，故，

∴成立，

即． -14分