Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₇=4，a_n+1=

3an+4

7-an

．
（1）試求a₈和a₆的值；
（2）對于數(shù)列{a_n}，是否存在自然數(shù)m，使得當(dāng)n≥m時(shí)，a_n＜2；當(dāng)n＜m時(shí)，a_n＞2，證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）根據(jù)數(shù)列的遞推公式直接進(jìn)行求解即可求a₈和a₆的值；
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）因?yàn)閍₇=4，a_n+1=

3an+4

7-an

．
當(dāng)n=6時(shí)，解得a₆=

24

7

，
當(dāng)n=7時(shí)，解得a₈=

16

3

．
（2）類似計(jì)算得到，a₆=

24

7

，a₇=4，a₈=

16

3

，a₉=12，a₁₀=-8，a₁₁=-

4

3

．
由此猜想：
存在自然數(shù)m=10，使得當(dāng)n≥10時(shí)，a_n＜2；當(dāng)n＜10時(shí)，a_n＞2．
證明：①首先驗(yàn)證，當(dāng)n=1，2，3，…，9時(shí)，a_n＞2．
由已知條件a_n+1=

3an+4

7-an

，解得 a_n=

7an+1-4

an+1+3

，
然后由a₇=4出發(fā)，計(jì)算這個(gè)數(shù)列的第6項(xiàng)到第1項(xiàng)：
a₆=

24

7

，a₅=

28

9

，a₄=

32

11

，a₃=

36

13

，a₂=

40

15

=

8

3

，a₁=

44

17

，
顯然，當(dāng)n＜10時(shí)，a_n＞2，
②再用數(shù)學(xué)歸納法證明：n≥10時(shí)，a_n＜2．
①當(dāng)n=10時(shí)，a₁₀=-8＜2，猜想成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k （k≥10）時(shí)，猜想成立，即a_k＜2，
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，有a_k+1-2=

3ak+4

7-ak

-2=

5(ak-2)

7-ak

，
由a_k＜2，則a_k-2＜0，7-a_k＞0，
所以，a_k+1-2＜0，即a_k+1＜2成立． 
根據(jù)①、②，當(dāng)n≥10時(shí)，a_n＜2．
因此，存在自然數(shù)m=10，使得當(dāng)n≥10時(shí)，a_n＜2；當(dāng)n＜10時(shí)，a_n＞2．

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法是解決本題的關(guān)鍵．