Question

已知函數f（x）=ln（2+3x）+

m

2

x²在x=

1

3

處取得極值．
（1）求f（x）在[0，1]上的單調區(qū)間；
（2）若對任意的x∈[

1

6

，

1

3

]，不等式|a-lnx|+ln[f′（x）+3x]＞0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先判斷函數的定義域，求函數的導數，根據當導數等于0時函數取到極值，求出m的值，再判斷函數的單調性
（2）先求出函數的導數，再利用恒成立求a的取值范圍

解答：解：（1）由題意得函數f（x）的定義域為{x|x＞-

2

3

}，
f′（x）=

3

2+3x

+mx=

3+2mx+3mx2

2+3x

，
又函數f（x）在x=

1

3

處取得極值，
∴f′（

1

3

）=0，即m=-3，
此時，f′（x）=

-3(x+1)(3x-1)

2+3x

．
∴在[0，1]上，當0≤x＜

1

3

時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增；
當

1

3

＜x≤1，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減．∴f（x）在x=

1

3

處取得極大值．
∴f（x）在[0，1]上的單調遞增區(qū)間為[0，

1

3

]，單調遞減區(qū)間為[

1

3

，1]．
（2）∵f′（x）+3x=

3

2+3x

，
∴當x∈[

1

6

，

1

3

]時，ln[f′（x）+3x]∈[0，ln

6

5

]（當且僅當x=

1

3

時，ln[f′（x）+3x]=0）．
因此，不等式|a-lnx|+ln[f′（x）+3x]＞0恒成立的a的取值范圍是（-∞，ln

1

3

）∪（ln

1

3

，+∞）．

點評：該題考查函數的求導以及利用導數球函數的單調性，利用恒成立求未知量的取值范圍，注意先確定自變量的取值范圍