Question

已知函數f（x）=e^x-bx
（1）當b=1時，求函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）若函數f（x）有且只有一個零點，求實數b的取值范圍；
（3）當b＞0時，討論函數|f（x）|在區(qū)間（0，2）上是否存在極大值，若存在，求出極大值及相應實數b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出函數的導涵數f'（x），在函數的定義域內解不等式f'（x）＞0和f'（x）＜0，即可求出函數的單調區(qū)間；
（2）先將原問題轉化為y=e^x與y=bx的圖象只有一個交點的問題，再對b進行分類討論：當b＜0時，作出圖象，發(fā)現(xiàn)滿足要求；當b≥0時，作出圖象，發(fā)現(xiàn)當且僅當y=e^x與y=bx相切時有一個交點．從而求出實數b的取值范圍；
（3）求出f'（x）=e^x-b，令f'（x）=e^x-b=0，則x=lnb，不等式f'（x）＞0和f'（x）＜0，即可求出函數的單調區(qū)間，然后根據極值的定義進行判定極值即可．

解答：解：（I）當b=1時f（x）=e^x-x，
∴f'（x）=e^x-1，
令f'（x）=0，得x=0，
f'（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

f（x）的單調遞減區(qū)間為（-∞，0），單調遞增區(qū)間為（0，+∞）；…（5分）
（2）轉化為y=e^x與y=bx的圖象只有一個交點
當b＜0時，作出圖象，發(fā)現(xiàn)滿足要求；
當b≥0時，作出圖象，
發(fā)現(xiàn)當且僅當y=e^x與y=bx相切時有一個交點
設切點為（x，y），則

y=ex y=bx ex=b

，解得

x=1 b=e y=e

所以，b＜0或b=e…（10分）
（3）f（x）=e^x-bx，f'（x）=e^x-b，令f'（x）=e^x-b=0，則x=lnb
當x∈（-∞，lnb）時，f'（x）=e^x-b＜0，所以f（x）遞減；
當x∈（lnb，+∞）時，f'（x）=e^x-b＞0，所以f（x）遞增；
所以，f（x）的最小值為f（lnb）=b-blnb=b（1-lnb）
當0＜b≤e時，f（lnb）=b（1-lnb）≥0，所以f（x）=e^x-bx≥0
∴|f（x）|=f（x）=e^x-bx，
此時，|f（x）|在（-∞，+∞）上無極大值，所以在（0，2）上無極大值
當b＞e時，f（lnb）=b（1-lnb）＜0，
∴|f(x)|=

f(x)，f(x)≥0 -f(x)，f(x)＜0

，
可得：
若b≥e²，則lnb≥2，此時|f（x）|在（0，2）上無極大值；
若b＜e²，則lnb＜2，此時|f（x）|在（0，2）上有極大值|f（lnb）|=b（lnb-1）
綜上得：
當0＜b≤e或b≥e²時，|f（x）|在（0，2）上無極大值；
當e＜b＜e²時，|f（x）|在（0，2）上有極大值|f（lnb）|=b（lnb-1）…（16分）

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的極值，以及函數單調區(qū)間等有關基礎知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．