Question

已知f（x）是定義在R上不恒為零的函數，對于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）成立．數列{a_n}滿足a_n=f（2ⁿ）（n∈N^*），且a₁=2，求數列的通項公式為a_n．

Answer 1

考點：數列與函數的綜合

專題：等差數列與等比數列

分析：令x=2，y=2^n-1，得f（2ⁿ）=2f（2^n-1）+2^n-1a₁，從而得到數列{

an

2n

}是以

a1

2

=1為首項，1為公差的等差數列，由此能求出a_n=n•2ⁿ．

解答： 解：令x=2，y=2^n-1，
則f（x•y）=f（2ⁿ）=2f（2^n-1）+2^n-1f（2），
即f（2ⁿ）=2f（2^n-1）+2^n-1a₁，
an=2an-1+2n，

an

2n

=

an-1

2n-1

+1，
∴數列{

an

2n

}是以

a1

2

=1為首項，1為公差的等差數列，
∴

an

2n

=n，
由此可得a_n=n•2ⁿ．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意構造法的合理運用．