Question

若對一切的實數(shù)x，有3x²-2mx-1≥|x|-

7

4

成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：對x討論，當(dāng)x=0時，不等式顯然成立；當(dāng)x＞0時，原不等式即為3x²-2mx-1≥x-

7

4

，即2m+1≤3(x+

1

4x

)，恒成立，運用均值不等式求出右邊的最小值；當(dāng)x＜0時，原不等式即為3x²-2mx-1≥-x-

7

4

，即2m-1≥3（x+

1

4x

），恒成立，運用均值不等式求出右邊的最大值．最后求交集即可．

解答： 解：當(dāng)x=0時，不等式即為-1≥-

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4

，成立；
當(dāng)x＞0時，原不等式即為3x²-2mx-1≥x-

7

4

，
即2m+1≤3(x+

1

4x

)，恒成立，由于x+

1

4x

≥2

x• 1 4x

=1，
當(dāng)且僅當(dāng)x=

1

2

取最小值1，則2m+1≤3，解得，m≤1；
當(dāng)x＜0時，原不等式即為3x²-2mx-1≥-x-

7

4

，
即2m-1≥3（x+

1

4x

），恒成立，由于x+

1

4x

≤-2

x• 1 4x

=-1，
當(dāng)且僅當(dāng)x=-

1

2

，取最大值-1，則2m-1≥-3，解得m≥-1，
由于對一切的實數(shù)x，原不等式恒成立，
則實數(shù)m的取值范圍是[-1，1]．

點評：本題考查不等式的恒成立問題，注意運用參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，考查運算能力，屬于中檔題．