Question

11．若函數(shù)f（x）=x³-3x在（a，6-a²）上有最大值，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-$\sqrt{7}$，-1）
• B． （-$\sqrt{7}$，-1]
• C． （-$\sqrt{7}$，-2）
• D． （-$\sqrt{7}$，-2]

Answer 1

分析 因為給的是開區(qū)間，最大值一定是在該極大值點處取得，因此對原函數(shù)求導、求極大值點，求出函數(shù)極大值時的x值，然后讓極大值點落在區(qū)間（a，6-a²）內(nèi)，依此構(gòu)造不等式．即可求解實數(shù)a的值．

解答 解：由題意f（x）=x³-3x，
所以f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
當x＜-1或x＞1時，f′（x）＞0；
當-1＜x＜1時，f′（x）＜0，故x=-1是函數(shù)f（x）的極大值點，f（-1）=-1+3=2，x³-3x=2，解得x=2，
所以由題意應有：$\left\{\begin{array}{l}{a＜6-{a}^{2}}\\{a＜-1}\\{6-{a}^{2}＞-1}\\{6-{a}^{2}≤2}\end{array}\right.$，
解得-$\sqrt{7}$＜a≤-2．
故選：D．

點評 本題考查了三次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值問題，一定要辨析清楚是開區(qū)間還是閉區(qū)間，從而確定最值點與極值點的關(guān)系；本題另一個易錯點為易忽視定義域中a＜6-a²的條件．