Question

18．已知（x+$\frac{1}{x}$）²ⁿ的展開式中所有系數(shù)之和比（3$\root{3}{x}$-x）ⁿ的展開式中所有系數(shù)之和大240．
（1）求（x+$\frac{1}{x}$）²ⁿ的展開式中中的常數(shù)項(xiàng)（用數(shù)字作答）；
（2）求（2x-$\frac{1}{x}$）ⁿ的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和（用數(shù)字作答）

Answer 1

分析 由已知求得n=4．
（1）寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，由x的指數(shù)為0求得r，則展開式中中的常數(shù)項(xiàng)可求；
（2）直接由展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)得答案．

解答 解：∵（x+$\frac{1}{x}$）²ⁿ的展開式中所有系數(shù)之和比（3$\root{3}{x}$-x）ⁿ的展開式中所有系數(shù)之和大240，
∴2²ⁿ=2ⁿ+240，解得2ⁿ=16，n=4．
（1）（x+$\frac{1}{x}$）²ⁿ =（x+$\frac{1}{x}$）⁸ ，
${T}_{r+1}={C}_{8}^{r}{x}^{8-r}（\frac{1}{x}）^{r}={C}_{8}^{r}{x}^{8-2r}$，
由8-2r=0，得r=4．
∴展開式中中的常數(shù)項(xiàng)為${C}_{8}^{4}=70$；
（2）（2x-$\frac{1}{x}$）ⁿ =（2x-$\frac{1}{x}$）⁴ ，
展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為${C}_{4}^{0}+{C}_{4}^{1}+{C}_{4}^{2}+{C}_{4}^{3}+{C}_{4}^{4}={2}^{4}=16$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，明確展開式的二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．