Question

在正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，M是棱AB的中點(diǎn)．

(1)求證：BC∥平面A₁MD₁；

(2)求二面角A₁－D₁M－C的大�。�

Answer 1

答案：
解析：

解法1：(1)∵BC∥B1C1，B1C1∥A1D1，∴BC∥A1D1． 　　又A1D1平面A1MD1，BC平面A1MD1 　　∴BC∥平面A1MD1；　5分 　　(2)設(shè)平面A1MD1與棱DC相交于點(diǎn)N， 　　連結(jié)D1N，則點(diǎn)N是DC的中點(diǎn)． 　　∴A1D1⊥平面D1DCC1，A1D1平面A1MND1 　　∴平面A1MND1⊥平面D1DCC1， 　　且D1N是交線． 　　過(guò)點(diǎn)C作CH⊥D1N于H點(diǎn)， 　　則CH⊥平面A1MND1， 　　再過(guò)H作HO⊥D1M于O點(diǎn)， 　　連結(jié)CO，根據(jù)三垂線定理得CO⊥D1M， 　　從而∠COH是二面角C－D1M－N， 　　也就是所求二面角A1－D1M－C的補(bǔ)二面角的平面角　8分 　　設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則在， 　　所以有 　　在，所以有 　　 　　又由于可求得 　　 　　所以在 　　進(jìn)而有 　　根據(jù)三角形面積公式得 　　 從而在 　　 　　因此所求的二面角　12分 　　解法2：分別以直線DA、DC、DD1為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，并設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 　　A1(2，0，2)，D1(0，0，2)，C(0，2，0)，M(2，1，0)　6分 　　 　　　8分 　　再設(shè)， 　　 　　令　10分 　　設(shè)是鈍角，并且有 　　， 　　即為所求　12分