Question

已知雙曲線與橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的焦點重合，它們的離心率之和為

14

5

，求雙曲線的方程．

Answer 1

分析：設(shè)出雙曲線方程，求出橢圓的離心率，可得雙曲線的離心率，即可確定雙曲線的幾何性質(zhì)，從而可得雙曲線的方程．

解答：解：設(shè)雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）（3分）
橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的半焦距c=

25-9

=4，離心率為

4

5

，（6分）
兩個焦點為（4，0）和（-4，0）（9分）
∴雙曲線的兩個焦點為（4，0）和（-4，0），離心率e=

14

5

-

4

5

=2
∴

c

a

=

4

a

=2，∴a=2（12分）
∴b²=c²-a²=12（14分）
∴雙曲線的方程為

x2

4

-

y2

12

=1（15分）

點評：本題雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．