Question

點P是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）左支上的一點，其右焦點為F（c，0），若M為線段FP的中點，且M到坐標原點的距離為

1

8

c，則雙曲線的離心率e范圍是（　�。�

• A．（1，8]
• B．(1，

  4

  3

  ]
• C．(

  4

  3

  ，

  5

  3

  )
• D．（2，3]

Answer 1

分析：直接利用雙曲線的定義，結(jié)合三角形的中位線定理，推出a，b，c的關(guān)系，求出雙曲線的離心率．

解答：解：設(shè)雙曲線的左焦點為F₁，因為點P是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）左支上的一點，
其右焦點為F（c，0），若M為線段FP的中點，且M到坐標原點的距離為

1

8

c，
由三角形中位線定理可知：OM=

1

2

PF₁，PF₁=PF-2a，PF≥a+c．
所以

1

4

c+2a≥a+c，1＜e≤

4

3

．
故選B．

點評：本題是中檔題，考查雙曲線的基本性質(zhì)，找出三角形的中位線與雙曲線的定義的關(guān)系，得到PF≥a+c．是解題的關(guān)鍵．