Question

12．過(guò)拋物線y²=4x的焦點(diǎn)作傾斜角為60度的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，則|AB|=（　　）

• A． $\frac{8}{3}\sqrt{7}$
• B． $\frac{16}{3}$
• C． $\frac{8}{3}$
• D． $\frac{16}{3}\sqrt{7}$

Answer 1

分析 求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)F（1，0），用點(diǎn)斜式設(shè)出直線方程：y=$\sqrt{3}$（x-1）與拋物線方程聯(lián)解得一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合曲線的弦長(zhǎng)的公式，可以求出線段AB的長(zhǎng)度．

解答 解：根據(jù)拋物線y²=4x方程得：焦點(diǎn)坐標(biāo)F（1，0），
直線AB的斜率為k=tan60°=$\sqrt{3}$
由直線方程的點(diǎn)斜式方程，設(shè)AB：y=$\sqrt{3}$（x-1）
將直線方程代入到拋物線方程當(dāng)中，得：3（x-1）²=4x
整理得：3x²-10x+3=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得：x₁+x₂=$\frac{10}{3}$，x₁x₂=1
所以弦長(zhǎng)|AB|=$\sqrt{1+3}•\sqrt{\frac{100}{9}-4}$=$\frac{16}{3}$．
故選B

點(diǎn)評(píng) 本題以拋物線為載體，考查了圓錐曲線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，屬于中檔題．本題運(yùn)用了直線方程與拋物線方程聯(lián)解的方法，對(duì)運(yùn)算的要求較高．利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和弦長(zhǎng)公式是解決本題的關(guān)鍵．