Question

20．如圖所示，在三棱錐A-OBC中，OA，OB，OC兩兩垂直且長度都為2，則這個三棱錐的體積為$\frac{4}{3}$；O到平面ABC的距離為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由OA⊥OB⊥OC，且OA=OB=OC=2，直接利用棱錐體積公式求得三棱錐體積；由已知可得，AB=AC=BC=2$\sqrt{2}$，可得三棱錐O-ABC為正三棱錐，過O作OG⊥平面ABC于G，則G為正三角形的重心，連接AG并延長交BC于D，求得AD，再由重心性質(zhì)可得AG，最后利用勾股定理求得答案．

解答 解：∵OA⊥OB⊥OC，且OA=OB=OC=2，
則${V}_{A-OBC}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2=\frac{4}{3}$，
即三棱錐的體積為$\frac{4}{3}$；
由已知可得，AB=AC=BC=2$\sqrt{2}$，
則三棱錐O-ABC為正三棱錐，過O作OG⊥平面ABC于G，則G為正三角形的中心，也是重心，
連接AG并延長交BC于D，則AD⊥BC，
∵AB=2$\sqrt{2}$，BD=$\sqrt{2}$，
∴AD=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}=\sqrt{6}$，
∴AG=$\frac{2}{3}AD=\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴OG=$\sqrt{O{A}^{2}-A{G}^{2}}=\sqrt{{2}^{2}-（\frac{2\sqrt{6}}{3}）^{2}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{4}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查棱錐體積的求法，考查了三角形重心的性質(zhì)，是中檔題．