如圖，四棱錐S＝ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝AD＝a，點E是SD上的點，且DE＝λa(0＜λ≤1)．

(Ⅰ)求證：對任意的λ∈(0，1)，都有AC⊥BE；

(Ⅱ)若二面角C－AE－D的大小為60°C，求λ的值．

答案：
解析：

　　(Ⅰ)證發(fā)1：連接BD，由底面是正方形可得AC⊥BD．

　　∵SD⊥平面ABCD，∴BD是BE在平面ABCD上的射影，

　　由三垂線定理得AC⊥BE．

　　(Ⅱ)解法1：∵SD⊥平面ABCD，CD平面ABCD，∴SD⊥CD．

　　又底面ABCD是正方形，∴CD⊥AD，又SD∩AD＝D，∴CD⊥平面SAD．

　　過點D在平面SAD內(nèi)做DF⊥AE于F，連接CF，則CF⊥AE，

　　故∠CFD是二面角C－AE－D的平面角，即∠CFD＝60°

　　在Rt△ADE中，∵AD＝α，DE＝λα，AE＝α．

　　于是，DF＝

　　在Rt△CDF中，由cot60°＝

　　得，即＝3λ，λ∈(0，1]，

　　解得λ＝

　　證法2：以D為原點，DA，、的方向分別作為x，y，z軸的正方向建如圖

　　


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：044

如圖，四棱錐S—ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝a，DC＝2a，SD＝a，SD⊥平面ABCD．

　�。�1）證明：該四棱錐的四個側(cè)面都是直角三角形；

　�。�2）設(shè)M∈SA，SM＝x，平面CDMSB＝P，證明四邊形CDMP也是直角梯形，并用a與x表示；

　�。�3）x為何值時，CM最短，并求出其最短距離．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試、文科數(shù)學(全國一) 題型：044

如圖，四棱錐S－ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝AD＝1，DC＝SD＝2，E為棱SB上的一點，平面EDC⊥平面SBC．

(Ⅰ)證明：SE＝2EB；

(Ⅱ)求二面角A－DC－C的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源：江蘇省某重點中學2012屆高三上學期11月練習數(shù)學試題 題型：044

如圖，四棱錐S－ABCD中，M是SB的中點，AB∥CD，BC⊥CD，且AB＝BC＝2，CD＝SD＝1，又SD⊥面SAB．

(1)證明：CD⊥SD；

(2)證明：CM⊥面SAD；

(3)求四棱錐S－ABCD的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試全國卷數(shù)學文科 題型：044

如圖，四棱錐S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三角形．AB＝BC＝2，CD＝SD＝1．

(Ⅰ)證明：SD⊥平面SAB

(Ⅱ)求AB與平面SBC所成角的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源：山東省鄆城一中2012屆高三上學期寒假作業(yè)數(shù)學理科試卷(3) 題型：044

如圖，四棱錐S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1．

(Ⅰ)證明：SD⊥平面SAB；

(Ⅱ)求AB與平面SBC所成角的大�。�

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