Question

已知m∈R，函數f（x）=（x²+mx+m）e^x
（Ⅰ）若m=-1，求函數f（x）的極值
（Ⅱ）若函數f（x）的單調遞減區(qū)間為（-4，-2），求實數m的值．

Answer 1

分析：（I）先求函數的導函數，然后研究導函數的符號，從而確定函數的極值點，代入函數解析式即可求出極值；
（II）根據函數f（x）的單調遞減區(qū)間為（-4，-2），則-4與-2是x²+（m+2）x+2m=0的兩個根，利用根與系數的關系可求出m的值．

解答：解：（I）若m=-1，則f（x）=（x²-x-1）e^x；
f′（x）=（2x-1）e^x+（x²-x-1）e^x=（x²+x-2）e^x；
當x＜-2時，f′（x）＞0，當-2＜x＜1時，f′（x）＜0，當x＞1時，f′（x）＞0
∴當x=-2時函數f（x）取極大值f（-2）=5e^-2，當x=1時，函數f（x）取極小值f（1）=-e，
（II）f′（x）=（2x+m）e^x+（x²+mx+m）e^x=[x²+（m+2）x+2m]e^x；
∵函數f（x）的單調遞減區(qū)間為（-4，-2），
∴-4與-2是x²+（m+2）x+2m=0的兩個根
即m=4
∴實數m的值為4．

點評：本題考查的知識點是利用導數研究函數的單調性，利用函數研究函數的極值，其中根據已知函數的解析式，求出函數的導函數是解答此類問題的關鍵．