Question

函數(shù)f（x）在定義域R上的導(dǎo)函數(shù)是f'（x），若f（x）=f（2-x），且當x∈（-∞，1）時，（x-1）f'（x）＜0，設(shè)a=f（0）、b=f（

2

）、c=f（log₂8），則（　　）

• A、a＜b＜c
• B、a＞b＞c
• C、a＜c＜b
• D、c＜a＜b

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先由x∈（-∞，1）時，（x-1）f′（x）＜0，得函數(shù)f（x）在（-∞，1）上為增函數(shù)；又f（x）=f（2-x）得f（x）圖象關(guān)于x=1對稱，則 f（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，然后將f（0），f（

2

），f（log₂8）化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)比較即可．

解答： 解：∵x∈（-∞，1）時，
∴（x-1）f′（x）＜0，
∴f′（x）＞0，
∴f（x）在（-∞，1）上為增函數(shù)，
又∵f（x）=f（2-x），
∴f（x）圖象關(guān)于x=1對稱，
∴f（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，
又∵a=f（0）=f（2），b=f（

2

），c=f（log₂8）=f（3），
∴3＞2＞

2

，
∴c＜a＜b．
故選：D．

點評：解題的關(guān)鍵為由f（x）=f（2-x）得函數(shù)圖象關(guān)于x=1對稱，以及利用導(dǎo)數(shù)符號確定函數(shù)的單調(diào)性，屬于常用解題技巧．