精英家教網 > 高中數(shù)學 > 題目詳情

設a為銳角，若cos（a+ $數(shù)學公式$ ）= $數(shù)學公式$ ，則sin（2a+ $數(shù)學公式$ ）的值為________．

$\text{[math]}$
分析：根據a為銳角，cos（a+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ 為正數(shù)，可得a+ $\text{[math]}$ 也是銳角，利用平方關系可得sin（a+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ．接下來配角，得到cosa= $\text{[math]}$ ，sina= $\text{[math]}$ ，再用二倍角公式可得sin2a= $\text{[math]}$ ，cos2a= $\text{[math]}$ ，最后用兩角和的正弦公式得到sin（2a+ $\text{[math]}$ ）=sin2acos $\text{[math]}$ +cosasin $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
解答：∵a為銳角，cos（a+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
∴a+ $\text{[math]}$ 也是銳角，且sin（a+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴cosa=cos[（a+ $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ ]= $\text{[math]}$ cos $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ sin $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
sina=sin[（a+ $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ ]= $\text{[math]}$ cos $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ sin $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
由此可得sin2a=2sinacosa= $\text{[math]}$ ，cos2a=cos²a-sin²a= $\text{[math]}$
又∵sin $\text{[math]}$ =sin（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，cos $\text{[math]}$ =cos（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$
∴sin（2a+ $\text{[math]}$ ）=sin2acos $\text{[math]}$ +cosasin $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
故答案為： $\text{[math]}$
點評：本題要我們在已知銳角a+ $\text{[math]}$ 的余弦值的情況下，求2a+ $\text{[math]}$ 的正弦值，著重考查了兩角和與差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式，考查了三角函數(shù)中的恒等變換應用，屬于中檔題．

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