Question

13．已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為（2，0），右頂點為$（{\sqrt{3}，0}）$，
（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求雙曲線C的離心率；
（3）求雙曲線C的漸近線方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，由c=2，a=$\sqrt{3}$，b²=c²-a²=1，即可求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）由（1）即可求得雙曲線的離心率；
（3）根據(jù)漸近線方程，即可求得雙曲線C的漸近線方程．

解答 解：（1）由題意得設(shè)雙曲線的方程為$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$，∵$c=2，a=\sqrt{3}$，
∴b²=c²-a²=4-3=1，
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$；
（2）由（1）得$c=2，a=\sqrt{3}$，
∴雙曲線的離心率為$e=\frac{c}{a}=\frac{2}{{\sqrt{3}}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．
（3）由（1）得雙曲線的漸近線方程為$y=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$．

點評 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線的簡單性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．