Question

已知三點(diǎn)O（0,0），A（-2,1），B（2,1），曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)M（x，y）滿(mǎn)足.
（1）  求曲線(xiàn)C的方程；
（2）動(dòng)點(diǎn)Q（x₀，y₀）（-2＜x₀＜2）在曲線(xiàn)C上，曲線(xiàn)C在點(diǎn)Q處的切線(xiàn)為l向：是否存在定點(diǎn)P（0，t）（t＜0），使得l與PA，PB都不相交，交點(diǎn)分別為D,E，且△QAB與△PDE的面積之比是常數(shù)？若存在，求t的值。若不存在，說(shuō)明理由。

Answer 1

（1）   （2）2

（1）依題意可得，
，
由已知得，化簡(jiǎn)得曲線(xiàn)C的方程：
（2）假設(shè)存在點(diǎn)P（0，t）（t<0）滿(mǎn)足條件，則直線(xiàn)PA的方程是，直線(xiàn)PB的方程是，曲線(xiàn)C在點(diǎn)Q處的切線(xiàn)l的方程為它與y軸的交點(diǎn)為，由于，因此
①當(dāng)時(shí)， ，存在，使得，即l與直線(xiàn)PA平行，故當(dāng)時(shí)不符合題意
②當(dāng)時(shí)，，所以l 與直線(xiàn)PA，PB一定相交，分別聯(lián)立方程組，
解得D，E的橫坐標(biāo)分別是
則，又，
有，又
于是
對(duì)任意，要使△QAB與△PDE的面積之比是常數(shù)，只需t滿(mǎn)足，
解得t=-1，此時(shí)△QAB與△PDE的面積之比為2，故存在t=-1，使△QAB與△PDE的面積之比是常數(shù)2。
【點(diǎn)評(píng)】本題以平面向量為載體，考查拋物線(xiàn)的方程，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系以及分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想. 高考中，解析幾何解答題一般有三大方向的考查.一、考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，離心率等基本性質(zhì)，直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系引申出的相關(guān)弦長(zhǎng)問(wèn)題，定點(diǎn)，定值，探討性問(wèn)題等；二、考查拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，準(zhǔn)線(xiàn)等基本性質(zhì)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系引申出的相關(guān)弦長(zhǎng)問(wèn)題，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，定點(diǎn)，定值，探討性問(wèn)題等；三、橢圓，雙曲線(xiàn)，拋物線(xiàn)綜合起來(lái)考查.一般橢圓與拋物線(xiàn)結(jié)合考查的可能性較大，因?yàn)樗鼈兌际强季V要求理解的內(nèi)容.