Question

19．求函數(shù)f（θ）=$\frac{1}{si{n}^{2}θ}$+$\frac{9}{co{s}^{2}θ}$，θ∈（0，$\frac{π}{2}$）的最小值．

Answer 1

分析 化簡函數(shù)的解析式為f（x）=10+$\frac{{cos}^{2}θ}{{sin}^{2}θ}$+$\frac{{9sin}^{2}θ}{{cos}^{2}θ}$，再利用基本不等式求得它的最小值．

解答 解：函數(shù)f（θ）=$\frac{1}{si{n}^{2}θ}$+$\frac{9}{co{s}^{2}θ}$=$\frac{{sin}^{2}θ{+cos}^{2}θ}{{sin}^{2}θ}$+$\frac{{9sin}^{2}θ+{9cos}^{2}θ}{{cos}^{2}θ}$
=10+$\frac{{cos}^{2}θ}{{sin}^{2}θ}$+$\frac{{9sin}^{2}θ}{{cos}^{2}θ}$≥10+2$\sqrt{9}$=16，
當(dāng)且僅當(dāng) $\frac{{cos}^{2}θ}{{sin}^{2}θ}$=$\frac{{9sin}^{2}θ}{{cos}^{2}θ}$時，
即tanθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即θ=$\frac{π}{6}$時，f（x）取得最小值為16，此時，θ=$\frac{π}{6}$∈（0，$\frac{π}{2}$），滿足條件，
故f（x）取得最小值為16．

點評 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．