為加快新農(nóng)村建設(shè)步伐,紅星鎮(zhèn)政府投資c萬元生產(chǎn)甲乙兩種商品,據(jù)測算,投資甲商品x萬元,可獲得利潤P=x萬元,投資乙商品x萬元可獲得利潤Q=40
x
萬元,如果鎮(zhèn)政府聘請你當(dāng)投資顧問,試問對甲乙兩種商品的資金投入分別是多少萬元?才能獲得最大利潤,獲得最大利潤是多少萬元?
分析:設(shè)對甲廠投入x萬元(0≤x≤c),則對乙廠投入為c-x萬元.所得利潤為y=x+40
c-x
(0≤x≤c).利用換元法,令
c-x
=t(0≤t≤
c
),則x=c-t2,可得y=f(t)=-t2+40t+c=-(t-20)2+c+400,通過對
c
與20的大小關(guān)系分類討論,利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出.
解答:解:設(shè)對甲廠投入x萬元(0≤x≤c),則對乙廠投入為c-x萬元.
所得利潤為y=x+40
c-x
(0≤x≤c),
c-x
=t(0≤t≤
c
),則x=c-t2
∴y=f(t)=-t2+40t+c=-(t-20)2+c+400
當(dāng)
c
≥20,即c≥400時(shí),則t=20,即x=c-400時(shí),ymax=c+400,
當(dāng)0<
c
<20,即0<c<400時(shí),則t=
c
,即x=0時(shí),ymax=40 
c

答:若政府投資c不少于400萬元時(shí),應(yīng)對甲投入c-400萬元,乙對投入400萬元,可獲得最大利潤c+400萬元.政府投資c小于400萬元時(shí),應(yīng)對甲不投入,的把全部資金c都投入乙商品可獲得最大利潤40
c
萬元.
點(diǎn)評:本題考查了換元法、二次函數(shù)的單調(diào)性、分類討論等基礎(chǔ)知識與基本技能方法,屬于中檔題.
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