【答案】
分析:(Ⅰ)欲證AC
1⊥平面A
1BC,需要從平面A
1BC中找出兩條相交線與AC
1垂直,由圖形知,可證BC⊥AC
1,又BA
1⊥AC
1.由線面垂直的定理即可得.
(Ⅱ)求C
1到平面A
1AB的距離,本小題擬采用向量法求解,建立空間坐標系,求出平面A
1AB的法向量,以及
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181018263053902/SYS201310241810182630539011_DA/0.png)
,求
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181018263053902/SYS201310241810182630539011_DA/1.png)
在平面法向量上的投影即可得到點到面的距離.
(Ⅲ)求二面角A-A
1B-C的余弦值,本小題擬采用向量法求解,根據(2)求出兩平面的法向量,直接求兩向量夾角的余弦值的絕對值即可.
解答:![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181018263053902/SYS201310241810182630539011_DA/images2.png)
解:
(Ⅰ)證明:因為A
1在底面ABC上的射影為AC的中點D
所以平面A
1ACC
1⊥平面ABC
∵BC⊥AC且平面A
1ACC
1∩平面ABC=AC
∴BC⊥平面A
1ACC
1∴BC⊥AC
1∵AC
1⊥BA
1且BC
1∩BA
1=B
∴AC
1⊥平面A
1BC
(Ⅱ)如圖所示,以C為坐標原點建立空間直角坐標系
∵AC
1⊥平面A
1BC∴AC
1⊥A
1C
∴四邊形A
1ACC
1是菱形∵D是AC的中點
∴∠A
1AD=60°∴A(2,0,0)A
1(1,0,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181018263053902/SYS201310241810182630539011_DA/2.png)
)
B(0,2,0)C
1(-1,0,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181018263053902/SYS201310241810182630539011_DA/3.png)
)
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181018263053902/SYS201310241810182630539011_DA/4.png)
=(1,0,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181018263053902/SYS201310241810182630539011_DA/5.png)
)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181018263053902/SYS201310241810182630539011_DA/6.png)
=(-2,2,0)
設平面A
1AB的法向量
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181018263053902/SYS201310241810182630539011_DA/7.png)
=(x,y,z),則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181018263053902/SYS201310241810182630539011_DA/8.png)
,令z=1,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181018263053902/SYS201310241810182630539011_DA/9.png)
=(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181018263053902/SYS201310241810182630539011_DA/10.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181018263053902/SYS201310241810182630539011_DA/11.png)
,1)
∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181018263053902/SYS201310241810182630539011_DA/12.png)
=(2,0,0)∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181018263053902/SYS201310241810182630539011_DA/13.png)
∴C
1到平面A
1AB的距離為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181018263053902/SYS201310241810182630539011_DA/14.png)
(Ⅲ)平面A
1AB的法向量
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181018263053902/SYS201310241810182630539011_DA/15.png)
=(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181018263053902/SYS201310241810182630539011_DA/16.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181018263053902/SYS201310241810182630539011_DA/17.png)
,1),平面A
1BC的法向量
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181018263053902/SYS201310241810182630539011_DA/18.png)
=(-3,0,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181018263053902/SYS201310241810182630539011_DA/19.png)
)
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181018263053902/SYS201310241810182630539011_DA/20.png)
,
設二面角A-A
1B-C的平面角為θ,θ為銳角,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181018263053902/SYS201310241810182630539011_DA/21.png)
即二面角A-A
1B-C的余弦值為
點評:本題考查線面垂直的證明,點到面距離的求法,二面角的求法,由解題過程可以看出,用向量法求點到面的距離,求二面角是一個很實用的方法,解題中要善于運用,在求解此類題時,求面的法向量是一個重點,要學會怎么賦值.