Question

對實數a和b，定義運算“*”：a*b=

a，a-b≤1 b，a-b＞1

，設函數f（x）=（x²+1）*（x+2），若函數y=f（x）-c的圖象與x軸恰有兩個公共點，則實數c的取值范圍是（　　）

• A、（1，2]∪（4，5]
• B、（2，4]∪（5，+∞）
• C、（-∞，1）∪（4，5]
• D、[1，2]

Answer 1

考點：函數的圖象

專題：計算題,作圖題,函數的性質及應用

分析：由題意，化簡f（x）=（x²+1）*（x+2）=

x2+1，-1≤x≤2 x+2，x＜-1或x＞2

，作出圖象f（x），函數y=f（x）-c的圖象與x軸恰有兩個公共點可化為y=f（x）與y=c有兩個不同的交點，從而由圖象可解得．

解答： 解：由題意，
解x²+1-（x+2）≤1得，
-1≤x≤2，
故f（x）=（x²+1）*（x+2）=

x2+1，-1≤x≤2 x+2，x＜-1或x＞2

，
作函數f（x）=（x²+1）*（x+2）的圖象，
則使函數y=f（x）-c的圖象與x軸恰有兩個公共點可化為
y=f（x）與y=c有兩個不同的交點，
故由圖象可得，
1＜c≤2或4＜c≤5，
故選A．

點評：本題考查了函數的圖象的作法及函數與方程的關系，屬于中檔題．