P是平行四邊形ABCD外一點(diǎn)，∠DAB=60°，AB=2AD=2a，△PDC是正三角形，BC⊥PD
（1）證明：平面PBD⊥平面ABCD；
（2）求二面角P-BC-D的余弦值；
（3）求三棱錐B-ADP的體積．
分析：（1）依題意，可證AB2=BD2+AD2⇒AD⊥BD，結(jié)合已知BC⊥PD可證AD⊥平面PBD，從而可證平面PBD⊥平面ABCD；
（2）可證∠PBD為二面角P-BC-D的平面角，再利用余弦定理計(jì)算即可；
（3）通過體積轉(zhuǎn)化公式VB-ADP=VA-PBD及可求得答案．
解答：證明：（1）在△ABD中，∠DAB=60°，AB=2AD=2a，
∴由余弦定理得：BD2=AD2+AB2-2AD•ABcos∠DAB=a2+4a2-2×a×2a×
1
2
=3a2，
∴BD=
3
a；
∴AB2=BD2+AD2，
∴△ABD是直角三角形，AD⊥BD，
又BC⊥PD，BC∥AD，
∴AD⊥PD，PD∩BD=D，
∴AD⊥平面PBD，AD?平面ABCD，
∴平面PBD⊥平面ABCD；
（2）由AD⊥平面PBD，BC∥AD知，BC⊥平面PBD，PB?平面PBD，
∴BC⊥PB；①
又∠ADB=∠DBC=90°，
∴DB⊥BC；②
平面PBC∩平面DBC=BC，
∴∠PBD為二面角P-BC-D的平面角．
∵△PDC是邊長為2a正三角形，BD=
3
a，
由BC⊥PB知，△PBC為直角三角形，由斜邊PC=2a，直角邊BC=a可得PB=
3
a；
∴cos∠PBD=
PB2+BD2-PD2
2BP•BD
=
3a2+3a2-4a2
2×
3
a×
3
a
=
1
3
；
（3）∵AD⊥平面PBD，
∴VB-ADP=VA-PBD
=
1
3
•AD•S△PBD
=
1
3
×a×
1
2
PB•BD•sin∠PBD
=
1
6
a•
3
a•
3
a•
2
2
3

=
2
3
a3．
點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的判定，考查二面角的平面角及求法，考查余弦定理與棱錐的體積的綜合應(yīng)用，屬于難題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知四邊形OABC是平行四邊形，且點(diǎn)A(4，  0)，  C(1，  
3
)．
（1）求∠ABC的大��；
（2）設(shè)點(diǎn)M是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)
（包括端點(diǎn)），求
OP
•
CM
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知四邊形OABC是平行四邊形，A（4，0），C（1，
3
），點(diǎn)M是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)），如圖
（Ⅰ）求∠ABC的大��；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)λ，使(λ
OA
-
OP
)⊥
CM
？若存在，求出滿足條件的實(shí)數(shù)λ的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是平行四邊形，PA⊥平面ABCD，AC⊥AB，AB=PA，點(diǎn)E是PD上的點(diǎn)，且DE=λEP（0＜λ≤1）．
（Ⅰ）求證：PB⊥AC；
（Ⅱ）求λ的值，使PB∥平面ACE；
（Ⅲ）當(dāng)λ=1時(shí)，求三棱錐E-ABC與四棱錐P-ABCD的體積之比．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知三點(diǎn)A（4，0），B（t，2），C（6，t），t∈R．
（1）若△ABC是直角三角形，求t的值；
（2）O為原點(diǎn)，若四邊形OACB是平行四邊形，且點(diǎn)P（x，y）在其內(nèi)部及其邊界上，求2y-x的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PG⊥平面ABC，垂足G在AD上，且AG=
1
3
GD，GB⊥GC．GB=GC=2，PG=4，E是BC的中點(diǎn)．
（1）求證：PC⊥BG；
（2）求異面直線GE與PC所成角的余弦值；
（3）若F是PC上一點(diǎn)，且DF⊥GC，求
CF
CP
的值．

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同步練習(xí)冊答案