Question

3．近日，國家經(jīng)貿(mào)委發(fā)出了關(guān)于深入開展增產(chǎn)節(jié)約運(yùn)動，大力增產(chǎn)市場適銷對路產(chǎn)品的通知，并發(fā)布了當(dāng)前國內(nèi)市場185種適銷工業(yè)品和42種滯銷產(chǎn)品的參考目錄．為此，一公司舉行某產(chǎn)品的促銷活動，經(jīng)測算該產(chǎn)品的銷售量P萬件（生產(chǎn)量與銷售量相等）與促銷費(fèi)用x萬元滿足$P=3-\frac{2}{x+1}$（其中0≤x≤a，a為正常數(shù)）；已知生產(chǎn)該產(chǎn)品還需投入成本（10+2P）萬元（不含促銷費(fèi)用），產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為$（4+\frac{20}{p}）$萬元/萬件．
（1）將該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為促銷費(fèi)用x萬元的函數(shù)；
（2）促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，廠家的利潤是大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)產(chǎn)品的利潤=銷售額-產(chǎn)品的成本，建立函數(shù)關(guān)系；
（2）利用基本不等式可求出該函數(shù)的最值，注意等號成立的條件，對能否取得等號進(jìn)行分類討論，即可得出答案．

解答 解：（1）由題意知，y=（4+$\frac{20}{P}$）P-x-（10+2P），
將$P=3-\frac{2}{x+1}$（其中0≤x≤a，a為正常數(shù)）代入化簡得y=16-$\frac{4}{x+1}$-x（0≤x≤a），
故該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為促銷費(fèi)用x萬元的函數(shù)為y=16-$\frac{4}{x+1}$-x（0≤x≤a），
（2）y=17-（$\frac{4}{x+1}$+x+1）≤17-2$\sqrt{\frac{4}{x+1}×（x+1）}$=13，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{4}{x+1}$=x+1，即x=1時(shí)，上式取等號，
①當(dāng)a≥1時(shí)，促銷費(fèi)用投入1萬元時(shí)，廠家的利潤最大；
②當(dāng)a＜1時(shí)，y=17-（$\frac{4}{x+1}$+x+1）在[0，a]上單調(diào)遞增，
∴x=a時(shí)，函數(shù)有最大值．即促銷費(fèi)用投入a萬元時(shí)，廠家的利潤最大．
綜上，當(dāng)a≥1時(shí)，促銷費(fèi)用投入1萬元，廠家的利潤最大；
當(dāng)a＜1時(shí)，促銷費(fèi)用投入a萬元，廠家的利潤最大．

點(diǎn)評 本題考查基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．