Question

4．已知F是雙曲線E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F作E的一條漸近線的垂線，垂足為P，線段PF與E相交于點(diǎn)Q，記點(diǎn)Q到E的兩條漸近線的距離之積為d²，若|FP|=2d，則該雙曲線的離心率是（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 E上任意一點(diǎn)Q（x，y）到兩條漸近線的距離之積為d₁d₂=$\frac{^{2}{x}^{2}-{a}^{2}{y}^{2}}{^{2}+{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}^{2}}{{c}^{2}}$=d²，F(xiàn)（c，0）到漸近線bx-ay=0的距離為$\frac{bc}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}}}$=b=2d，求出可求雙曲線的離心率．

解答 解：E上任意一點(diǎn)Q（x，y）到兩條漸近線的距離之積為d₁d₂=$\frac{^{2}{x}^{2}-{a}^{2}{y}^{2}}{^{2}+{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}^{2}}{{c}^{2}}$=d²，
F（c，0）到漸近線bx-ay=0的距離為$\frac{bc}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}}}$=b=2d，
∴$\frac{ab}{c}=\frac{2}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=2，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率，考查點(diǎn)到直線距離公式的運(yùn)用，屬于中檔題．