Question

12．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓C的極坐標(biāo)方程為$ρ=2sinθ，θ∈[{0，\frac{π}{2}}]$．
（1）求C的參數(shù)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)D在C上，C在D處的切線與直線$l：x-\sqrt{3}y-2=0$垂直，根據(jù)（1）中的參數(shù)方程，確定點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先求出半圓C的直角坐標(biāo)方程，由此能求出半圓C的參數(shù)方程．
（2）設(shè)點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的參數(shù)為α，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（cosα，1+sinα），且α∈[-$\frac{π}{2}，\frac{π}{2}$]，半圓C的圓心是C（0，1）因半圓C在D處的發(fā)線與直線l垂直，故直線DC的斜率與直線l的斜率相等，由此能求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵半圓C的極坐標(biāo)方程為$ρ=2sinθ，θ∈[{0，\frac{π}{2}}]$．
即ρ²=2ρsinθ，$θ∈[0，\frac{π}{2}]$，
∴半圓C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²-2y=0，x∈[0，1]，
∴半圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=1+sinα}\end{array}\right.，（α∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]為參數(shù)）$．
（2）設(shè)點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的參數(shù)為α，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（cosα，1+sinα），且α∈[-$\frac{π}{2}，\frac{π}{2}$]，
由（1）知半圓C的圓心是C（0，1）
因半圓C在D處的發(fā)線與直線l垂直，故直線DC的斜率與直線l的斜率相等，
$\frac{（1+sinα）-1}{cosα}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，即tanα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵α∈[-$\frac{π}{2}，\frac{π}{2}$]，∴α=$\frac{π}{6}$，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為D（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程的求法，考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互化公式的合理運(yùn)用．