Question

（本小題滿分14分）

已知動直線與橢圓C: 交于P、Q兩不同點，且△OPQ的面積=,其中O為坐標(biāo)原點.

（Ⅰ）證明和均為定值;

（Ⅱ）設(shè)線段PQ的中點為M，求的最大值；

（Ⅲ）橢圓C上是否存在點D,E,G，使得?若存在，判斷△DEG的形狀；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（I）解：（1）當(dāng)直線的斜率不存在時，P，Q兩點關(guān)于x軸對稱，

所以

因為在橢圓上，

因此         ①

又因為

所以          ②

由①、②得

此時

   （2）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為

由題意知m，將其代入，得

，

其中

即           …………（*）

又

所以

因為點O到直線的距離為

所以

又

整理得且符合（*）式，

此時

綜上所述，結(jié)論成立。

   （II）解法一：

   （1）當(dāng)直線的斜率存在時，

由（I）知

因此

   （2）當(dāng)直線的斜率存在時，由（I）知

所以

                 

所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.

綜合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值為

解法二：

因為

                    

所以

即當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。

因此 |OM|·|PQ|的最大值為

   （III）橢圓C上不存在三點D，E，G，使得

證明：假設(shè)存在，

由（I）得

因此D，E，G只能在這四點中選取三個不同點，

而這三點的兩兩連線中必有一條過原點，

與矛盾，

所以橢圓C上不存在滿足條件的三點D，E，G.