Question

選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)f（x）=

1+x2

，a≠b，求證：|f（a）-f（b）|＜|a-b|．

Answer 1

分析：要證的不等式等價(jià)于 1+ab＜

(1+a2)(1+b2)

，當(dāng)1+ab＜0時(shí)，要證的不等式顯然成立．當(dāng)1+ab≥0時(shí)，要證的不等式等價(jià)于 2ab＜b²+a² ①．而由a≠b可得 ①成立，可得要證的不等式成立．

解答：解：由于函數(shù)f（x）=

1+x2

，可得|f（a）-f（b）|=|

1+a2

-

1+b2

|，
要證的不等式|f（a）-f（b）|＜|a-b|，
等價(jià)于 1+a²+1+b²-2

(1+a2)(1+b2)

＜a²+b²-2ab，
等價(jià)于 1+ab＜

(1+a2)(1+b2)

．
當(dāng)1+ab＜0時(shí)，要證的不等式顯然成立．
當(dāng)1+ab≥0時(shí)，要證的不等式等價(jià)于 1+a²•b²+2ab＜1+b²+a²+a²•b²，
等價(jià)于 2ab＜b²+a² ①．
而由a≠b可得 ①成立，故要證的不等式成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用分析法證明不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．