Question

已知橢圓+=1（a＞b＞0）的一個焦點坐標(biāo)為（，0），短軸一頂點與兩焦點連線夾角為120°．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線l與橢圓相交于不同的兩點A、B，已知點A的坐標(biāo)為（-a，0），點Q（0，m）在線段AB的垂直平分線上且≤4，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意知a=2b，c=，a²=b²+c²
解得a=2，b=1，∴橢圓方程為+y²=1

（2）由（1）可知A（-2，0），設(shè)B點坐標(biāo)為（x₁，y₁），
直線l的方程為y=k（x+2）
于是A、B兩點的坐標(biāo)滿足方程組
由方程消去y并整理得：（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0
由-2x₁=得x₁=，從而y₁=
設(shè)線段AB的中點為M，則M的坐標(biāo)為（-，）

以下分兩種情況：
①當(dāng)k=0時，點B的坐標(biāo)為（2，0），線段AB的垂直平分線為y軸，
于是=（-2，-m），=（2，-m），
由≤4
得：-2≤m≤2

②當(dāng)k≠0時，線段AB的垂直平分線方程為
y-=-（x+）
令x=0，得m=-
由=-2x₁-m（y₁-m）

=+（+）
=≤4
解得-≤k≤且k≠0

∴m=-=-
∴當(dāng)-≤k＜0時，+4k≤-4
當(dāng)0＜k≤時，+4k≥4
∴-≤m≤，且m≠0

綜上所述，-≤m≤，且m≠0

分析：（1）由題意知a=2b，c=，a²=b²+c²，由此能得到橢圓方程．
（2）由A（-2，0），設(shè)B（x₁，y₁），直線l的方程為y=k（x+2），知A、B兩點的坐標(biāo)滿足方程組，由方程消去y并整理得：（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0，由-2x₁=得x₁=，從而y₁=，設(shè)線段AB的中點為M，則M的坐標(biāo)為（-，．然后再分類討論進行求解．
點評：本題考查橢圓方程的求法和求m的取值范圍．解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱條件，解題時要注意分類討論思想的應(yīng)用．