11.已知函數(shù)f(x)為定義在(0,+∞)上的連續(xù)可導函數(shù),且f(x)>xf'(x),則不等式${x^2}f(\frac{1}{x})-f(x)<0$的解集是(0,1).

分析 令輔助函數(shù)F(x)=$\frac{f(x)}{x}$,求其導函數(shù),據(jù)導函數(shù)的符號與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系判斷出F(x)的單調(diào)性,利用單調(diào)性判斷出,由不等式的關(guān)系,利用不等式的性質(zhì)得到結(jié)論.

解答 解:令F(x)=$\frac{f(x)}{x}$,(x>0),
則F′(x)=$\frac{xf′(x)-f(x)}{{x}^{2}}$,
∵f(x)>xf′(x),∴F′(x)<0,
∴F(x)為定義域上的減函數(shù),
由不等式x2f($\frac{1}{x}$)-f(x)<0,
得:$\frac{f(\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$<$\frac{f(x)}{x}$,
∴$\frac{1}{x}$>x,∴0<x<1,
故答案為:(0,1).

點評 本題考查了導數(shù)的運算,考查了利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,函數(shù)的導函數(shù)符號確定函數(shù)的單調(diào)性:當導函數(shù)大于0時,函數(shù)單調(diào)遞增;導函數(shù)小于0時,函數(shù)單調(diào)遞減.此題為中檔題.

練習冊系列答案
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A.1B.2C.3D.4

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