Question

10．設(shè)α、β、γ滿足0＜α＜β＜γ＜2π，若cos（x+α）+cos（x+β）+cos（x+γ）=0對任意實數(shù)x均成立，則α-β的值是（　�。�

• A． $-\frac{π}{3}$
• B． $-\frac{2π}{3}$
• C． $-\frac{4π}{3}$
• D． $-\frac{2π}{3}$或$-\frac{4π}{3}$

Answer 1

分析 設(shè)f（x）=cos（x+α）+cos（x+β）+cos（x+γ），通過賦值f（-α）=0，f（-β）=0，f（-γ）=0，可求得cos（β-α）=cos（γ-β）=cos（γ-α）=-$\frac{1}{2}$，結(jié)合已知0＜α＜β＜γ＜2π，即可求得γ-β=$\frac{2π}{3}$，γ-α=$\frac{4π}{3}$，相減即可得解．

解答 解：設(shè)f（x）=cos（x+α）+cos（x+β）+cos（x+γ），
由題意知，?x∈R，f（x）=0恒成立，
則f（-α）=f（-β）=f（-γ）=0，
∴cos（β-α）+cos（γ-α）=cos（β-α）+cos（γ-β）=cos（γ-α）+cos（γ-β）=-1，
∴cos（β-α）=cos（γ-β）=cos（γ-α）=-$\frac{1}{2}$．
∵0＜α＜β＜γ＜2π，
∴β-α，γ-β，γ-α∈{$\frac{2π}{3}$，$\frac{4π}{3}$}，從而γ-β=$\frac{2π}{3}$，γ-α=$\frac{4π}{3}$，
∴α-β=（γ-β）-（γ-α）=$\frac{2π}{3}$-$\frac{4π}{3}$=-$\frac{2π}{3}$，
故選：B．

點評 本題考查兩角和與差的余弦函數(shù)，突出考查構(gòu)造函數(shù)思想與賦值法的應(yīng)用，考查綜合分析與運算的能力，屬于難題．