Question

已知函數(shù)f(x)=2sin(2x+

π

6

)．
（I）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（II）求函數(shù)f（x）的最大值及相應(yīng)的自變量x的集合；
（III）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）直接運(yùn)用求周期公式計算即可；
（II）因?yàn)閒（x）取最大值時應(yīng)該有sin（2x+

π

6

）=1成立，即2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，可得答案．
（2）將2x+

π

6

看做一個整體，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可得由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，進(jìn)而求出x的范圍，得到答案．

解答：解：（I）函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π（4分）
（II）當(dāng)2x+

π

6

=2kπ+

π

2

（5分）
即x=kπ+

π

6

(k∈Z)時，f（x）取最大值2（7分）
因此f（x）取最大值時x的集合是{x|x=kπ+

π

6

，k∈Z}（8分）
（III）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

得（10分）kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（11分）
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)最小正周期的求法和單調(diào)區(qū)間的求法，一般都是將函數(shù)化簡為y=Asin（wx+ρ）的形式，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)解題．