Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，焦點在x軸上的橢圓C： 經(jīng)過點(b，2e)，其中e為橢圓C的離心率．過點T(1，0)作斜率為k(k＞0)的直線l交橢圓C于A，B兩點(A在x軸下方)．

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點O且平行于l的直線交橢圓C于點M，N，求 的值；

（3）記直線l與y軸的交點為P．若，求直線l的斜率k．

Answer 1

【答案】（1）;（2）;（3）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意，把點代入橢圓的方程和，列出方程組，求解的值，即可得到橢圓的方程；

（2）設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系，寫出韋達定理，又由，得的方程為，聯(lián)立方程組，求得點的坐標(biāo)，即可求解結(jié)論；

（3）由直線，得，求得的坐標(biāo)，再根據(jù)，得到，由（2）中的韋達定理，得出關(guān)于的方程，即可求解結(jié)論。

試題解析：

（1）因為橢圓＋＝1經(jīng)過點(b，2e)，所以＋＝1．

因為e2＝＝，所以＋1．

因為a2＝b2＋c2，所以＋＝1．

整理得 b4－12b2＋32＝0，解得b2＝4或b2＝8(舍) ．

所以橢圓C的方程為＋＝1．

（2）設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．因為T(1，0)，則直線l的方程為y＝k(x－1)．

聯(lián)立直線l與橢圓方程

消去y，得 (2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－8＝0，

所以

因為MN∥l，所以直線MN方程為y＝kx，

聯(lián)立直線MN與橢圓方程

消去y得 (2k2＋1)x2＝8，解得x2＝．

因為MN∥l，所以＝．

因為 (1－x1)·(x2－1)＝－[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝，

(xM－xN)2＝4x2＝，

所以＝＝·＝．

（3）在y＝k(x－1)中，令x＝0，則y＝－k，所以P(0，－k)，

從而＝(－x1,－k－y1)，＝(x2－1，/span>y2)．

因為＝，所以－x1＝ (x2－1)，即x1＋x2＝．由(2)知，

由解得 x1＝，x2＝．因為x1x2＝， 所以×＝，

整理得 50k4－83k2－34＝0，解得k2＝2或k2＝－(舍) ．

又因為k＞0，所以k＝．