Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B（0，1），且點(diǎn)A（a，0）（a≠0）是x軸上動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A作線段AB的垂線交y軸于點(diǎn)D，在直線AD上取點(diǎn)P，使AP=DA．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）點(diǎn)Q是直線y=-1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作軌跡C的兩條切線切點(diǎn)分別為M，N求證：QM⊥QN．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由已知可得AP⊥AB，得到直線AP的斜率，寫出直線方程，利用AP=AD，求出x，y滿足的關(guān)系；
（2）由（1）可知，直線MQ，NQ都是拋物線的切線，得到它們的斜率（用各自的坐標(biāo)表示，）利用兩點(diǎn)式得到的直線斜率與求導(dǎo)得到斜率相等，得到x₁，x₂是方程x²-2tx-4=0的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合向量垂直的性質(zhì)得到關(guān)于Q的坐標(biāo)的代數(shù)式值為0．

解答： 解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），k_AB=-

1

a

，∵AP⊥AB，∴k_AP=a，∴直線AP的方程為y=a（x-a）．…（2分）
由AP=DA，即A為線段PD的中點(diǎn)，∴x=2a，y=a²，
∴點(diǎn)P的軌跡C的方程是x²=4y（y≠0）．…（5分）
（2）設(shè)Q（t，-1），M（x₁，

x12

4

），N（x₂，

x22

4

），∵x²=4y，
∴y′=

1

2

x． 
∴k_MQ=

1

2

x₁，k_NQ=

1

2

x₂，
∴

x12 4 +1

x1-t

=

1

2

x1整理得x₁²-2tx₁-4=0．…（8分）
同理x₂²-2tx₂-4=0，
∴x₁，x₂是方程x²-2tx-4=0的兩個(gè)根，
x₁+x₂=2t，x₁x₂=-4．…（9分）
∴

QM

•

QN

=（x₁-t，

x12

4

+1）（x₂-t，

x22

4

+1）=x₁x₂-t（x₁+x₂）+t²+

1

16

x12x22+

1

4

(x12+x22)+1 
=-4-2t²+t²+1+

1

4

（4t²+8）+1=0，
∴QM⊥QN．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軌跡方程的求法以及利用向量解決幾何中線段垂直問題，運(yùn)算量較大，注意細(xì)心解答，屬于中檔題．