Question

已知函數(shù)f（x）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)，在（0，+∞）上單調(diào)遞減，且f（

1

2

）f（-

3

）＞0，則方程f（x）=0的根的個(gè)數(shù)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：用函數(shù)為奇函數(shù)得f（-

3

）=-f（

3

），又在（0，+∞）上單調(diào)遞減，所以函數(shù)f（x）在（

1

2

，

3

）上與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，再利用奇函數(shù)的性質(zhì)可得必在（-

3

，-

1

2

）上也有一個(gè)交點(diǎn)，即可得答案

解答： 解：由于函數(shù)是奇函數(shù)，且在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
因此在（-∞，0）上單調(diào)遞減，
又因?yàn)閒（

1

2

）＞0＞-f（-

3

）=f（

3

），
所以函數(shù)f（x）在（

1

2

，

3

）上與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，
必在（-

3

，-

1

2

）上也有一個(gè)交點(diǎn)，
故方程f（x）=0的根的個(gè)數(shù)為2．
故答案為：2

點(diǎn)評(píng)：本題主考查抽象函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性以及奇偶性，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相反，而奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相同．