Question

在鈍角三角形ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，，，且∥．
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）求函數(shù)y=2sin²B+cos（-2B）的值域．

Answer 1

解：（Ⅰ）由∥得，（2b-c）cosA-acosC=0，
由正弦定理得 2sinBcosA-sinCcosA-sinAcosC=0
∴2sinBcosA-sin（A+C）=0，即2sinBcosA-sinB=0，可得2sinBcosA=sinB
∵B∈（0，π），sinB為正數(shù)
∴2cosA=1，得cosA=，結合A∈（0，π），得A=…（5分）
（Ⅱ）y=2sin²B+cos（-2B）=1-cos2B+cos2B+sin2B=1-cos2B+sin2B=sin（2B-）+1…（7分）
①當角B為鈍角時，可得B∈（，），2B-∈（，）
∴sin（2B-）∈（-，），得y∈（，）…（10分）
②當角B為銳角時，角C為鈍角，即C=-B∈（，π），所以B∈（0，）
∴2B-∈（-，），sin（2B-）∈（-，），得y∈（，）…（13分）
綜上所以，函數(shù)y=2sin2B+cos（-2B）的值域為（，）…（14分）
分析：（I）根據(jù)向量平行的坐標表示式列出等式，再由正弦定理和誘導公式化簡整理，可得2sinBcosA=sinB，結合三角形內(nèi)角的正弦為正數(shù)，得到cosA=，從而得到A=．
（II）對函數(shù)進行降次，再用輔助角公式合并整理，可得y=sin（2B-）+1，然后依據(jù)B為鈍角或C為鈍角討論B的范圍，分別得到函數(shù)的值域，最后綜合可得本題的答案．
點評：本題以平面向量平行為載體，求三角形的內(nèi)角A并求關于角B的三角函數(shù)式的值域，著重考查了平面向量數(shù)量積的運算、三角函數(shù)中的恒等變換應用和解三角形等知識，屬于中檔題．